数学函数的最值教案

数学函数的最值教案

第八课时 函数的最值

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学习要求

1．了解函数的最大值与最小值概念；

2．理解函数的最大值和最小值的几何意义；

3．能求一些常见函数的最值和值域．

自学评价

1．函数最值的定义：

一般地，设函数 的定义域为 ．

若存在定值 ，使得对于任意 ，有 恒成立，则称 为 的最大值，记为 ；

若存在定值 ，使得对于任意 ，有 恒成立，则称 为 的最小值，记为 ；

2．单调性与最值：

设函数 的定义域为 ，

若 是增函数，则 ， ；

若 是减函数，则 ， ．

【精典范例】

一．根据函数图像写单调区间和最值：

例1：如图为函数 ， 的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．

【解】

由图可以知道：

当 时，该函数取得最小值 ；

当 时，函数取得最大值为 ；

函数的单调递增区间有２个： 和 ；

该函数的'单调递减区间有三个： 、 和

二．求函数最值：

例2：求下列函数的最小值：

（1） ；

（2） ， ．

【解】

（１）

∴当 时， ；

（２）因为函数 在 上是单调减函数，所以当 时函数 取得最小值为 ．

追踪训练一

1. 函数 在 上的最小值（A ）

与 的取值有关

不存在

2. 函数 的最小值是 ０ ，最大值是 ．

3. 求下列函数的最值：

(1) ；

(2)

析：因为函数的最值是值域中的最大值和最小值，所以求函数的最值的方法有时和求函数值域的方法是相仿的．

解：(1) ; ;

所以当 时， ；当 时， ；

(2)函数 是一次函数，且

故 在区间 上是增函数

所以当 时， ；

当 时， ；

【选修延伸】

含参数问题的最值：

例３: 求 ， 的最小值．

【解】

，其图象是开口向上，对称轴为 的抛物线．

①若 ，则 在 上是增函数，∴ ；

②若 ，则 ；

③若 ，则 在 上是减函数，∴ 的最小值不存在．

点评:

含参数问题的最值，一般情况下，我们先将参数看成是已知数，但不能解了我们再进行讨论！

思维点拔：

一、利用单调性写函数的最值？

我们可以利用函数的草图，如果函数在区间 上是图像连续的，且在 是单调递增的，在 上是单调递减的，则该函数在区间 上的最大值一定是在 处取得；同理，若函数在区间 上是图像连续的，且在 是单调递减的，在 上是单调递增的，则该函数在区间 上的最小值一定是在 处取得．

追踪训练

１．函数 的最大值是

( D)

2. =x2+ 的最小值为( C )

A.0B. C.1D不存在.

3. 函数 在区间 上的最大值为 ，则 ____ ____．

4.函数 的最大值为 .

5．已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 的值．

解：函数 的对称轴为 ，

当 时，则当 时函数取最大值 ，即 即 ；

当 时，则当 时函数取得最大值 ，即 ，即

所以， 或 。